Ensino Fundamental: Equação de segundo grau

Equações de 2º grau

Definições

   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

    Exemplo:

• x² - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

• 6x² - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

• 7x² - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.

• x² - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

 

Equação completas e Incompletas

    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

 

 

Raízes de uma equação do 2º grau

    Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

    O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
  x² - x - 2 = 0 ?

            Solução
            Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
  
  Solução
  Substituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.
  

   Logo, o valor de p é .

 

Resolução de equações incompletas

   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

   1ª Propriedade: 

   2ª Propriedade: 

 

   1º Caso: Equação do tipo  .

   Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .
  
  Solução
  Inicialmente, colocamos x em evidência:
                  

   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
                                               

   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
                                               

   De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e  .

  2º Caso: Equação do tipo 

   Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

            Solução

                       

  

    De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

 

 

Resolução de equações completas

    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
    A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
   

   Exemplos:

• resolução a equação:
  Temos 

                       

 

 

Discriminante

   Denominamos discriminante o radical b² - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .
        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

    Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
  
  Solução
  
  Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
   

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo 
            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
                                   

    Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.
  Solução
  
  Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

                     

   Logo, o valor de p é 3.

 

3º Caso: O discriminante é negativo .
        O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
       

   Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
  
  Solução
  Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
                 

   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:

  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.
  Para , a equação não tem raízes reais.

 

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

                       ax²+ bx + c = 0                           incógnita: x

                                                                         parâmetro: a, b, c

                      ax² - (2a + 1) x + 5 = 0               incógnita: x

                                                                       parâmetro: a

 

  Equações literais incompletas

       A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

      Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x² - 12m²=0, sendo x a variável.

          Solução

                         3x² - 12m² = 0

                                     3x² = 12m²

                                       x² = 4m²

                                      

                                       x=

Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my²- 2aby=0,com m0, sendo y a variável.

          Solução

                        my² - 2aby = 0

                        y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

                     y=0

                      ou

                    my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim: 

 

 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

              my² - 2aby= 0

                         my² =  2aby

                        my = 2ab

                          

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

 

 

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

       Resolva a equação: x² - 2abx - 3a²b², sendo x a variável.

       Solução

       Temos a=1, b = -2ab e c=-3a²b²

                       

                       

                       

                        

Portanto:

                 

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

 

 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

 Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

   Logo:    

 

Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes (S)

         

     

• Produto das raízes (P)

                   

 Como ,temos:

       Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x²  + x - 2 = 0. 

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a .     O produto das raízes é igual a

Assim:                                    Assim:

 

• Determine o valor de k na equação x² + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

         S= x₁ + x₂ = 7

Logo, o valor de k é -2.

 

• Determine o valor de m na equação 4x² - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.

Solução

Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

               P= x₁. x₂= -2

             

Logo, o valor de m é .

•  Determine o valor de k na equação 15x² + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.
     

Solução

Considere x₁ e x₂ as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .

Assim:

                      

                      

Logo, o valor de k é -8.

 

• Determine os valores de m  para os quais a equação ( 2m - 1) x² + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:

a) raízes simétricas;

b) raízes inversas.

 

Solução

Se as raízes são simétricas, então S=0.

                           

Se as raízes são inversas, então P=1.

 

 

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

 Considere a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.

 Dividindo todos os termos por a , obtemos:

 

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

                           

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x₁ + x₂ = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x₁ . x₂ = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x² - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x² - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

 

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raíz será  .

    Assim:

Logo, x² - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

 

 FORMA FATORADA

 Considere a equação ax² + bx + c = 0.

 Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax² + bx + c = 0 é:

 

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x² - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x² - 5x + 6 = 0, obtemos x₁= 2 e x₂= 3.

Sendo a= 1, x₁= 2 e x₂= 3, a forma fatorada de x² - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x² - 20x + 50 = 0.
     

Solução

Calculando as raízes da equação 2x² - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x₁=x₂= 5, a forma fatorada de 2x² - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)²=0

 

• Escreva na forma fatorada a equação x² + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

 

QUAÇÕES BIQUADRADAS

 Observe as equações:

x⁴ - 13x² + 36 = 0

9x⁴ - 13x² + 4 = 0

x⁴ - 5x² + 6 = 0

 

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x⁴, um termo em x² e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

 

 

Exemplos:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x⁴ - 8x² = 0

3x⁴ - 27 = 0

 

Cuidado!

      x⁴ - 2x³ + x² + 1 = 0               6x⁴ + 2x³ - 2x = 0            x⁴ - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

 

Seqüência prática

• Substitua x⁴ por y² ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x² por y.

• Resolva a equação ay² + by + c = 0

• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay² + by + c = 0.

       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay² + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ - 13 x² + 36 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

                   

                     y² - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                  y'=4     e      y''=9

Como x²= y, temos:

                  

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

 

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ + 4x² - 60 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

 

                       y² + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                     y'=6   e  y''= -10

Como x²= y, temos:

 

                   

Logo, temos para o conjunto verdade:.

 

 

• Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

             y² - 3y = -2

            y² - 3y + 2 = 0

           y'=1  e  y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

       

 

Resolução de equações da forma: ax²ⁿ  +  bxⁿ  + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xⁿ por y, obtendo:

        ay² + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• resolva a equação x⁶ + 117x³ - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x³=y, temos:

                y² + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

              y'= 8  e  y''= - 125

Então:

            

Logo, V= {-5, 2 }.

 

Composição da equação biquadrada

 Toda equação biquadrada de raízes reais x₁, x₂, x₃ e x₄ pode ser composta pela fórmula:

Exemplo:

• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

 

Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

 x²(x² -49) = 0                                                 (x²-a²) (x²-b²) = 0

 x⁴ - 49x² = 0                                                   x⁴ - (a² + b²) x² + a²b² = 0

 

 

 PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

              Consideremos a equação ax⁴ + bx² + c = 0, cujas raízes são x₁, x₂, x₃ e x₄ e a equação do 2º grau ay² + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

             De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

 

 

 

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

 

 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

                           

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

 

 

 2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

 3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

 

 

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

     

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

 

 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

         A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

• 

Solução

                 

Logo, V= {58}.

 

• 

Solução

               

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

 

• 

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

 

• 

Solução

         

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

 

 

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

 Observe o seguinte problema:

 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192  4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16                 1

x² +xy = 48                 2

 

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim:    2x + y = 16        1

                        y = 16 - 2x

Substituindo y em  2 , temos:

               x² + x ( 16 - 2x) = 48

              x ² + 16x - 2x² = 48

                - x²  + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

                  x² - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

 

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

 

   

Isolando y em 1

               y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em  2

           x²  - 2x(3x - 1)  = -3

           x² - 6x² + 2x    = -3   

          -5x² + 2x + 3    = 0   Multiplicando ambos os membros por -1.

           5x² - 2x - 3     = 0

x'=1       e    x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

                                           

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .

Logo, temos para conjunto verdade:

 

 

PROBLEMAS DO 2º GRAU

 Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
• Resolva a equação ou o sistema de equações.
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

                                   

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número:               10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada:  10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

                                             

Resolvendo o sistema, temos:

                                              

Isolando y em   1 :

                    -x + y = 3  y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy   =  18
x ( x + 3)      =   18
x² + 3x     =   18
x² + 3x - 18   =   0
x'= 3  e  x''= -6

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

                                 y'= 3 + 3 = 6

                                 y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3  e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

 

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

                      

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

                      

Resolvendo-a, temos:

                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

                      6x + 30 + 6x = x² + 5x

                       x² - 7x - 30 = 0

                       x'= - 3      e   x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

  

Resolvendo-a:

  

Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.